求f(x)=4x^2+16/(x^2+1)^2的最小值

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/08 17:43:45
希望利用基本不等式来求
并有详细的过程
谢谢

f(x)=2(x^2+1)+2(x^2+1)-4+16/(x^2+1)^2
>=3*（2*2*16）^(1/3)-4
=8

当且仅当
2(x^2+1)=16/(x^2+1)^2
即
x=1或-1

令t=x^2+1(t>=1)
g(t)=(4t+12)/(t^2)=4*(t+3)/[(t+3)^2-6(t+3)+9]=4/[(t+3)-6+9/(t+3)]
(t+3)-6+9/(t+3)>=2*根号9-6=0
但t+3取不到3
所以g(t)最大值为4/(4+9/4-6)=16
当x无穷大时 f(x)最小，趋近于0